俺的学习笔记: Kruskal-Wallis test/Friedman test

对于Ordinal Data的多群检测。可以用Kruskal-Wallis test或Friedman test来测中间值(median)的同一性。
※注意，多群检验，重复做两-两之间的两群检验是不行的，原因在学习ANOVA的时候解释过了。
如果多群是独立的数据，就用Kruskal-Wallis test
如果是相关的(paired)，就用Friedman test

这里的第12.5章，有个pdf文件说的比较清楚，还有例子。

The Mann-Whitney Test looks for differences in median values between two samples.
Both the Kruskal-Wallis and Friedman Tests look for differences in median values between more than two samples.
The Kruskal-Wallis Test is used to analyse the effects of more than two levels of just one factor on the experimental result. It is the non-parametric equivalent of the One Way ANOVA.
The Friedman Test analyses the effect of two factors, and is the nonparametric
equivalent of the Two Way ANOVA.

也就是说，Kruskal-Wallis Test是测试受1个因素影响的，多个样本的median的差异(独立多群)。而Friedman Test则是2个因素(paired多群？)。
这两个检测方法都是针对Ordinal Data的，比如排序啊，满足度啊之类的顺序尺度而不是实际的数值。
例子：
对医院的12名新护士的技术水准打分，得到的结果如下：
※注意，各个组的人数完全可以不等

内科	50	80	58	81
外科	67	69	72	88
眼科	54	62	75	77

请问这三个科室的护士技术水平有差异吗？
这个因为是受一个因素影响的，多群的平均值判定，而且是ordinal data，所以用Kruskal-Wallis Test。
因为是Ordinal data，所以计算方法如下：
1.先俺上述得分从小到大排列好，并列出其排名

科室	内	眼	内	眼	外	外	外	眼	眼	内	内	外
得分	50	54	58	62	67	69	72	75	77	80	81	88
名次	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

※注：得分相同的名次按平均值计算，比如如果第3和第4得分相同，则第三第四名次都是(3+4)/2=3.5。
2.然后把各个科室的名次列出来，并计算其名次的和以及平均值

					和	平均
内科	1	10	3	11	25	6.25
外科	5	6	7	12	30	7.5
眼科	2	4	8	9	23	5.75

然后用如下公式计算出其H值：

其中N是数据的总个数，k是群数，Ri是各个群组的名次和。上式计算得到H=0.500。
由于有3个群组，因此自由度=(3-1)=2。
计算出H值以后，在于样本数较小的情况，Hcrit可以通过查表得到。
对于样本数较大的情况(一说大于5)，Hcrit可以用Χ平方代替。
当然了，这些都很麻烦，其实用R就可以简单地计算出来了。

> vx=c(50,80,58,81)

> vy=c(67,69,72,88)

> vz=c(54,62,75,77)

> kruskal.test(x=list(vx,vy,vz))

  Kruskal-Wallis rank sum test

data:  list(vx, vy, vz)

Kruskal-Wallis chi-squared = 0.5, df = 2, p-value = 0.7788

上面是直接输入数据。当然了，输入名次也可以得到相同的结果

> vx=c(1,10,3,11)

> vy=c(5,6,7,12)

> vz=c(2,4,8,9)

> kruskal.test(x=list(vx,vy,vz))

  Kruskal-Wallis rank sum test

data:  list(vx, vy, vz)

Kruskal-Wallis chi-squared = 0.5, df = 2, p-value = 0.7788

下面看看Friedman test
这篇文章说的似乎比较清楚，而且和Kruskal-Wallis test进行了比较。
它说Friedman test检测的是两个要素的影响。
比如：药物的浓度和时间对细菌数量的影响。

	0（h）	1（h）	2（h）	3（h）	…
濃度a（%）	100	90	80	73	…
濃度b（%）	100	80	70	60	…
濃度c（%）	100	60	45	34	…

这种情况就可以用Friedman test来做。
具体做法略过，可以用R的friedman.test来做。

> va=c(1.00, 0.90, 0.80, 0.73)

> vb=c(1.00, 0.80, 0.70, 0.60)

> vc=c(1.00, 0.60, 0.45, 0.34)

> friedman.test(y=matrix(c(va,vb,vc),ncol=3))

    Friedman rank sum test

data:  matrix(c(va, vb, vc), ncol = 3)

Friedman chi-squared = 6, df = 2, p-value = 0.04979

※当然了，直接输入数字而不是百分比也是同样的结果。

> va=c(100.0, 90.0, 80.0, 73.0)

> vb=c(100.0, 80.0, 70.0, 60.0)

> vc=c(100.0, 60.0, 45.0, 34.0)

> friedman.test(y=matrix(c(va,vb,vc),ncol=3))

    Friedman rank sum test

data:  matrix(c(va, vb, vc), ncol = 3)

Friedman chi-squared = 6, df = 2, p-value = 0.04979

再进一步，直接输入排序，也可以得到同样的结果。

	0（h）	1（h）	2（h）	3（h）	…
濃度a（%）	100	90	80	73	…
濃度a（%）	2	3	5.5	6
濃度b（%）	100	80	70	60	…
濃度b（%）	2	5.5	7	9.5
濃度c（%）	100	60	45	34	…
濃度c（%）	2	9.5	10	11

> va=c(2,3,5.5,6)

> vb=c(2,5.5,7,9.5)

> vc=c(2,9.5,10,11)

> friedman.test(y=matrix(c(va,vb,vc),ncol=3))

    Friedman rank sum test

data:  matrix(c(va, vb, vc), ncol = 3)

Friedman chi-squared = 6, df = 2, p-value = 0.04979